FRAKTAL ÖRNEKLER-3
FRAKTAL YAPILAR
26 Nisan 2013 Cuma
FRAKTAL GEOMETRİ - KAOSUN RESMİ
Fraktal Geometri - Kaosun Resmi
Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi… Sonuçta, ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça, kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları, aslında sonsuz uzunluktadır!
Bu basit ve çarpıcı sonuç, Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde, ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı. Mandelbrot, tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anlamına gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı (yahut kendi ifadesiyle, keşfettiği) ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’, belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir.
[Mandelbrot kümesi en sade hali ile]
Mandelbrot aslında fraktal dünyanın ilk kaşifi değildir. Ondan neredeyse bir yüzyıl kadar önce matematikçi Gaston Julia, 1. DÜnya Savaşında yaralanmasının ardından hastanede geçirdiği uzun ve acılı günlerde, bu gün Julia kümesi olarak bildiğimiz ilk fraktal geometrik kumeyi tanımlamıştır.
Elbette Julia, defalarca tekrarlayan işlemleri hızlıca gerçekleştirebilen bigisayarların icadından yıllar önce, kuramsal olarak keşfettiği bu geometrik biçimi tam olarak görme şansına sahip değildi. Defterlerinin arkasına yaptığı bir kaç çizimle fraktal geomtrinin ilk esaslarını ortaya koymuş, fakat bu yeni geometrinin harika dünyasına tam olarak tanıklık edemeden bu dünyadan ayrılmıştı. Yıllar sonra Mandelbrot’un, Julia kümesinin de türetilebildiği ana fraktal biçim olan o meşhur Mandelbrot Kümesi’ni keşfi de zaten bilgisayarların bu gün bildiğimiz şekliyle kullanıma girmesi sonucu mümkün oldu. Çünkü fraktal geometri milyonlarca kez tekrarlanan işlemlerle elde edilebilen çok karmaşık geometrik biçimlerden oluşur ve bunları elle yapmanın imkansızlığı ancak bilgisayarlar hayatımza girdikten sonra anlaşılabilmiştir.
[Mandelbrot kümesinin bilgisayarda renklendirilmiş bir türevi]
Fraktal geometri, bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Bu şekillerin genellikle gerek dünyada tam olarak bir kaşılıkları yoktur ve çoğunlukla idealleştirmelerden ibarettirler (gerçek dünyada kalınıksız bir kağıt, yahut boyutsuz bir nokta görme olasılığımız yoktur).
Mandelbrot’un fraktalleri ise, “kesirli” boyutlara (fractal dimensions) sahip olmaları açısından, geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyutlu bir nesnedir ama, şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruşma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doğada hakim olan geometri de işte bu ‘fraktal geometri’dir…
Doğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşurken, tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında, işte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır…Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu, internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (örneğin: Fractal Explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun, bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak, matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki, bu tekrarlayan işlem serileri, tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında, ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon, yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi, alanı sonlu, fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.
Fraktallerin bir başka çarpıcı özelliği, doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (self similarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim, aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından, ana kümenin şekli, küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.
[Mandelbrot kümesinin inanılmaz karmaşıklığına bir örnek]
Tabiatta da bu durumla sık sık karşılaşırız: Örneğin ağaçların bir çok tipinde, dal ve köklerdeki saçaklanma biçimleriyle; dalların yan dallara ayrılma biçimlerinin, yaprakların çıkış noktalarının ve yapraklar üzerindeki damarların dallanış biçimlerinin hep birbirine benzer bir kalıp izlediğine belki de daha önce dikkat etmişsinizdir. Daha çarpıcı bir örnek olarak, atom-altı düzeyi de düşünebiliriz. Bu düzeyde ulaştığımız mikro-alem, aynen uzay boşluğu gibi karanlık, nisbi olarak korkunç mesafelerle birbirlerinden ayrılmış bileşenlerden (elektronlar – protonlar vb.) oluşan bir boşluktur ve atomun ardında, yeni bir ‘uzay boşluğu’, farklı ölçeklerle de olsa bizi bekler gibidir! İşte bu özellikler, fraktal geometrinin sadece ağlenceli bir oyun olmaktan ziyade, hayatın kendisini daha iyi anlamamızda yardımcı bir araç olarak kullanılması konusunda bizi defaatle ikaz ediyor…
[Doğadaki bazı fraktal biçimler]
[Bazı doğal yapıların, fraktal geometri biçimleriyle benzerliği şaşırtıcı düzeydedir]
Yapısındaki bıktırıcı ve binlerce tekrara dayalı matematiksel altyapıya rağmen fraktal geometri, özellikle günümüz yazılım teknolojisinin nimetleriyle de birleşince artık oldukça yaygınlaşmış durumda. Günümüzde fraktalleri oluşturmak için uzmanlığa gerek olmadığı gibi, güzelliklerini ve bize anlattıklarını anlayabilmek/takdir edebilmek için matematik dehası olmak gerekmiyor. Tek şart, insanî bir merak ve iştiyak sahibi olmak; hepsi o kadar.. Bana sorarsanız, hemen bir fraktal programı edinip kurcalamaya başlayın; karşınıza çıkan alem karşısında şaşkınlığınızı uzun süre gizleyebileceğinizi sanmıyorum…
FRAKTAL GEOMETRİNİN PRATİK FAYDALARI VAR MI?
Bu özel geometri dalı ilk ortaya çıktığı yıllardan beri araştırıcıların hızla ilgisini çeken bir bilim alanı olmaya devam ediyor. Bu ilginin en önemli nedeni, fraktallarla doğal biçimler arasındaki benzerliğin sadece görsel bir benzeşimin çok ötesinde olmasıdır aslında. Doğadaki bir çok biçimin bazı basit fraktal kurallarla kısmen yahut tamamen ifade edilebiliyor olması, bu basit kurallarla doğal biçimlere benzer yapıların bilgisayarlarca oluşturulabilmeleri, araştırıcıları bu alanın derinliklerine doğru kafa yormaya sevkediyor. Doğadaki biçimlerin oluşumlarını inceleyen morfogenez biliminin şu anda en önemli ayaklarından birisini, fraktal geometri ile doğadaki biçimler arasındaki beznerlikleri araştırarak, özellikle canlılardaki karmaşık biçim oluşumlarının şifresini çözebilme çabası oluşturmakta.
Fraktal geometri ayrıca fraktal analiz olarak adlandırılan yeni bir ölçüm yöntemleri dizisinin de bilim gündemine girmesini sağladı. Sadece biçimlerin değil, süreçlerin de karmaşıklıklarını ölçmek için kullanılan fraktal analiz ve dekompozisyon teknikleri, doğada karşımıza çıkan biçimlerin ve olayların karmaşıklık düzeylerini sayısal halde izleyip inceleyebilmek için bize yeni yöntemler sunmakta. Örneğin, mikroskop altında incelediğimiz, hücreler gibi doku bileşenlerinin çeşitli nedenlerle uğradıkları biçimsel değişiklikleri artık bir de “fraktal boyutlarını” hesaplayarak sayısallaştırabiliyoruz. Veya beyin aktivitesi sırasında kaydedilen elektroensefalogram (EEG) sinyallerinin benzer yöntemlerle analiz edilmesi, bize kaydedilen aktivitelerin karmaşıklık düzeyi ve altında yatan nedenler konusunda yeğyeni fikirler sunuyor. Kısacası, fraktal geometri bu gün, her alanda kullanılan ve gelecekte gittikçe de gözde hale gelecek bir alan olma özelliğini koruyor.
* * *
Fraktal alemdeki kişisel maceramın bana bir kez daha hatırlattığı bir gerçek var: Bu kâinat öyle bir –fraktal– kitap ki, her bir harfinde okunası nice ciltler yazılıp paketlenmiş.. Bizler bu gün, bilimin de katkısıyla bunu çok daha iyi anlıyoruz.
Artık elimizde, bu kompleks kitaptan daha fazla anlam çıkarabilecek bilimsel yöntemlerimiz ve yeni bakış açılarımız var. Dolayısıyla artık bize düşen, okuyabildiğimiz kadar okumak…
Ayrıntılı bilgi için bazı adresler:
http://www.math.utah.edu/~pa/math/mandelbrot/mandelbrot.html
http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
http://hypertextbook.com/chaos/
http://www.sinancanan.net.tr'DAN ALINMIŞTIR.
DOĞADAKİ İNANILMAZ FRAKTAL YAPILAR – DOĞANIN MATEMATİĞİ
DOĞADAKİ İNANILMAZ FRAKTAL YAPILAR – DOĞANIN MATEMATİĞİ
Daha önce matematiğin resmedilmiş hali ve 100 adet inanılmaz fraktal örneği adlı bildiride fraktal yapılardan bahsedip, kendine hayran bırakan çeşitli fraktal örneklerine yer vermiştim. bu bildiride ise doğada yer alan ve doğa ana tarafından meydana getirilmiş fraktal örneklerine değineceğim.doğada birçok inanılmaz fraktal yapılar mevcut ve belki de bunlardan en çok bilinenleri kar tanesi veRomanescu brokolidir.
fractal in snowflakes
kar taneleri, fraktal yapının doğadaki en çarpıcı ve etkileyici örneklerinden biridir. bu fraktal yapıdan dolayı olsa gerek hiçbir kar tanesi bir diğerine benzemez.
fractal in nature – Broccoli fractalRomanescu brokoliye yakından baktığımızda muazzam bir fraktal yapının mevcutolduğunu görebiliriz.
ractal landspacebunların yanında canlıların bazı bölümlerinde de fraktal yapıya rastlanır:
Peacock fractalçeşitli virüs ve bakterilerde:
bakterilerde fraktal yapı
diğer yandan, doğada fraktal yapı örneğine bitkilerde de rastlanılır:
Tree Leave fractalve son olarak da çeşitli kristal yapılarda ve yıldırım oluşumunda da fraktal yapıya rastlanır:
yıldırımda fraktal yapı
kristallerde fraktal yapı
bu örnekler, benim aklıma gelen veya internette karşılaştıklarımdır. ve eminim ki doğada, fraktal yapıya daha bir çok örnek mevcuttur. ufak bir dikkat ile, etrafınızda ne kadar da çok fraktal yapının bulunduğunu görebilirsiniz.
http://bildirgec.org'DAN ALINMIŞTIR.
FRAKTAL EVREN
Fraktal Evren
Yaşayan Evren
Fraktalar simetriye sahip muhteşem şekillerdir.Üstelik doğada her yerde fraktallara rastlamak mümkündür. İnsan yapımı matruşkalar (iç içe giderek küçülen bebekler) ve çin kutuları (iç içe giderek küçülen kutular) da fraktal şekillerdir.
Fraktallara giden yol polonyalı matemetikçi olan Boneit Mondelbort’un , ''İngiltere kıyıllarının uzunluğu nedir? Bu sorunun yanıtı kullanılan ölçüm aracının uzunluğuna bağlıdır.'' Söylemi ve sonrasında gelen araştırmalarıyla başlamış.İngiltere kıyı şeridinin uzunluğunu ölçek için bir metrelik bir pergel kullandığımızda kıyı uzunluğu yaklaşık bir sayı olarak bulunacaktır. Çünkü pergel, uzunluğu 1 metreden daha az olan girinti ve çıkıntıları ölçemeyecektir.Yarım metrelik bir pergel kullandığımızda kıyı uzunluğu büyüyecek ama yine sonuçta yaklaşık bir sonuç elde edilecektir.. Bu defa da yarım metreden daha küçük girinti ve çıkıntılar ölçüme katılamayacaktır. Bu ölçüm atom altı ölçeğe kadar devam edecektir.
Mondelbort, kıyı şeridinin uzunluğu sorusunun yanıtı olarak sonsuz karmaşık şekillerdeki kıyı şeridinin uzunluğunun, sonsuz olacağını belirtiyor. Peki o zaman kıyı şeridinin uzunluğunu sormak anlamsız bir soru mudur? Mondelbort'a göre önemli olan kıyı şeridinin uzunluğu değil kıyıyı oluşturan şekildir.Mondelbort, kıyı şeridinin şeklini fraktal olarak tanımlamıştır. Fraktal, parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen latince fractuuss kelimesinden gelmektedir. Fraktalar kesirsel boyutlu şekillerdir. Öklit geometrisindeki üçgen, daire, dörtgen, küp, prizmalar gibi değildirler. Eğer öyle olsaydı üçgenin çevresini ölçerken kullandığımız pergel ister bir metrelik isterse yarım metrelik olsun ölçüm sonucumuz değişmeyecekti. Fraktallar karmaşık şekillerdir. Fakat bir bölümüne baktığımızda diğer bölümleri hakkında fikir edine biliriz. Çünkü fraktalar ayrıntıları gösterebilmek için birçok kez büyütülebilirler. Bu da fraktalların sonsuza kadar kendilerini tekrar eden şekiller olduğu anlamına gelir.
Doğada fraktal geometri örneklerine çokça rastlanır.
Doğada fraktal geometri örneklerine çokça rastlanır.
İnsan vücudu fraktallardan oluşan organ ve yapılara sahiptir. Akciğerlerimize daha fazla oksijenin girebilmesi için soluk borumuz ikiye daha sonra sürekli küçülen ve kendini tekrar eden kollara ayrılmıştır. Her kolun ucunda üzüm salkımını andıran hava keseleri bulunur. Kalp atışlarımızda belirgin bir karmaşıklıktan sonra kendini tekrar eder. EKG grafiklerinde bu açıkça görülebilir. Bütün hücrelerimize oksijen ve hayati diğer besinleri taşıyan kan damarlarımız da giderek küçülerek kılcal damar ağı ile tüm vücudumuzu sararlar. Kan hayati bir sıvıdır ve en küçük damlası bile hücreye kadar ulaşmalıdır. Sistem yine olması gerektiği şekilde kendini oluşturmuştur. İnsan beyninin kıvrımları ve beyinden çıkıp omurilikten tüm vücuda yayılan sinir hücreleri çeşitli bağlantılar (sinaps) yaparak tüm vücudu ağ gibi sarar. Amaç dışarıdan gelen sinyalleri daha iyi alabilmek için vücudu daha çok sarmaktır. Daha çok ve çeşitli sinyal ya da uyarı almak sinir hücrelerimiz arasındaki bağlantıları artırır. Bu da insanın çevresini daha iyi algılamasını sağlar. Sinir hücrelerinin sayısı değişmez, ölen sinir hücreleri yenilenmezler bu durum belirli bir düzeni bozmamak içindir. Vücudumuzdaki kas lifleri de fraktal yapıdadır. Ağaçların dallanmasında ve yaprak diziliminde, eğrelti otunun yapraklarının diziminde, brokoli bitkisinde, kaktüslerde, sümüklü böceğin dış iskeletinde, midyenin dış iskeletinde, örümceğin ördüğü ağda, mercan resiflerinde, rüzgarın esintisinde, uzaktan baktığımızda nokta gibi gördüğümüz mikroskop altında muhteşem şekillere sahip kar kristallerinde fraktal yapılara rastlanır.İnsan yaşamındaki ekonomi, tarih ve psikolojide fraktal seyirler gösterir.‘’ Tarih tekerrürden ibarettir.’’Sözü tarihin kendini tekrarlayan dönemlerden oluştuğunu anlatır niteliktedir. Ülkelerin kuruluş, yükseliş ve çöküşleri, borsanın iniş çıkışları, insan hayatındaki dönemler belirli aralıklarla kendini tekrarlar.
Evrende mükemmel fraktal yapılar vardır, peki evrenin kendisi fraktal olabilir mi?
Evrende mükemmel fraktal yapılar vardır, peki evrenin kendisi fraktal olabilir mi?
Maddenin en küçük yapı taşı atoma baktığımızda ortada proton ve nötronlardan oluşan, kendi etrafında dönen bir çekirdek ve etrafında belirli yörüngelerde dolanan elektronlardan oluşmuştur. Protonun ve nötronun yapısını ise, elektron büyüklüğündeki üç parçacık ( kuark ) ve onları bir arada tutan çekim kuvveti sağlayan gluonlar oluşturur. Kuarklar titreşen enerji paketlerinden ibarettir. Sonuçta evren, özünde titreşen enerji denizinden ibaret olacaktır. Atomlar bir araya gelerek molekülleri, moleküller bir araya gelerek karmaşık yapılı daha komplex organik yapıları onlarda birleşip canlı hücreyi oluştururlar. Hücreler dokuları, dokular, organları, organlar sistemleri ve sistemler canlı organizmayı oluşturur. Organizmalar fraktallardan oluşmuştur da denilebilir.
Büyük fotoğrafa bakacak olursak Dünya kendi etrafında dönerken uydumuz Ay’da hem kendi hem de Dünya etrafında belirli bir yörüngede dolanır. Hidrojen atomunun çekirdeği etrafında dolanan bir tane elektronu vardır. Bu yönüyle iki sistem birbirine çok benzer. Dünya ve Ay’dan oluşan sistem de yıldızımız Güneş etrafında belirli bir yörüngede dolanır. Güneş sisteminde, yıldızımız Güneş kendi etrafında dönerken etrafındaki gezegenlerde hem kendi etraflarında hem de Güneş etrafında dönmeye devam eder. Güneş sisteminde, küçük Güneş sistemleri olmaya aday birçok sistem vardır. Satürn ve uyduları, Jüpiter ve uyduları ve uydusu olan tüm gezegenler büyük ölçekte atom modelleri gibidirler. Jüpiter 63 uydusu ile Güneş sistemi içindeki en büyük sistemdir. Jüpiter gezegeninin kütlesi biraz daha büyük olsaydı bir yıldızımız daha olabilirdi. Biz de çift yıldız sistemde yaşıyor olurduk. Bu durumda fraktal yapı bozuluyor diyebilirsiniz yani iki yıldız ve gezegenler. Bu iki atomun birleşip daha kararlı bir molekül oluşturması gibidir. Sonuçta evrende birçok ikili yıldız sistemleri vardır. Evrende uydusuz gezegenler de vardır fakat temel de evrendeki tüm cisimler dönme hareketinden kaynaklanan yuvarlak ve ya yuvarlağa yakın şekiller oluşturur. Evrene daha büyük ölçeklerde bakabilmek Hubble teleskopunun uzaya gönderilmesiyle sağlanmıştır.
Habble’nın çektiği fotoğraflarda milyonlarca gökadanın varlığı açıkça görülmüştür. Evrene daha geniş açıdan baktığımızda; Güneş sistemimiz, Samanyolu gökadamızın etrafında belli bir yörüngede dolanır. Samanyolu gök adamızın merkezinde büyük bir kara delik olduğu teorisi vardır. Bu çekim gücü etkisiyle yıldız sistemleri, atarcalar, kuyruklu yıldızlar ve evrendeki diğer gök cisimleri gökadamızın etrafında belirli yörüngelerde hareket ederler. Evrende milyarlarca gökada bulunmaktadır. Bizim gökadamız hangi sistemin çekim etkisinde hareket etmektedir? Şimdiye kadar anlattıklarımızdan yola çıkarak gökadamızın da daha büyük bir sistemin çekim etkisinde hareket ettiği sonucunu çıkarmak mümkündür.
Benim düşünceme göre; evrenin dışına çıkıp ona bakmamız mümkün olmadığı için bunu ancak daha küçük ölçekteki yapılarını inceleyerek bulabiliriz. Evrenin uzunluğu nedir? Sorunsun cevabı gayet açıktır. Evren bir fraktaldır ve evrenin uzunluğunu ölçmek mümkün değildir. Fraktal sistemler kendi içlerine kapalı sistemler değildirler. Dışarı ile enerli alış verişini daima sürdüren sistemlerdir. Bu enerji alış verişi sistemlerde kaos (karmaşa) oluşturur. Sistem dışarı ile enerji akışının oluşturduğu bozulmalardan özünü korunmak için kendini tekrar etme eğilimindedir. Doğada her şey bir değişim içindedir. Bu değişim etkilerine rağmen karmaşık olan birçok sistem kendi öz yapısını korumak için bir korunum yasası oluşturmuştur. Korunum yasasının varlığı evrenin oluşumunun tesadüf olmadığı bilgisini gözler önüne serer. O belirli bir denge içerisinde bulunan, kendi kendini sürekli tekrar ederek koruyan canlı, bilinçli bir sistemdir. Evren sonsuza kadar uzanır fakat sonsuzluk sonludur, sonsuzluğun içindeki sonsuzluk, sonsuzluktur.
Cornell üniversitesinden fraktal üzerine çalışmış Homer Smith şu sözü ne kadar önemli: "Fraktalları seviyorsunuz, çünkü onlardan oluşuyorsunuz. Fraktallarsız olamazsınız, çünkü kendiniz olmadan yapamazsınız.
"Einstein ile birlikte ‘’Birleşik Alanlar kuramı’’ üzerinde çalışan David Bohm’un ‘’Her şeyin altında yatan, bir düzenin ikinci kademede ortaya çıkış görüntüsünden başka bir şey değildir. Hem aynı zamanda bu düzeni kuran, düzenin kendisidir .’’ sözü ilgi çekicidir.
Aşağıdaki linklerden fraktal fotoğraflarını görebilirsiniz
http://www.metacafe.com/watch/948389/trippy_fractal_video/
"Einstein ile birlikte ‘’Birleşik Alanlar kuramı’’ üzerinde çalışan David Bohm’un ‘’Her şeyin altında yatan, bir düzenin ikinci kademede ortaya çıkış görüntüsünden başka bir şey değildir. Hem aynı zamanda bu düzeni kuran, düzenin kendisidir .’’ sözü ilgi çekicidir.
Aşağıdaki linklerden fraktal fotoğraflarını görebilirsiniz
http://www.metacafe.com/watch/948389/trippy_fractal_video/
Bilgisayarda oluşturulmuş fraktalar
http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Nevit/Fractals
Doğadan fraktallar
http://www.ecometry.biz/patterns.htm
Sanat ve fraktal
http://spacecollective.org/gallery/
Doğadan fraktallar
http://www.ecometry.biz/patterns.htm
Sanat ve fraktal
http://spacecollective.org/gallery/
http://blog.milliyet.com.tr'DEN ALINMIŞTIR.
EVRENİN FRAKTAL YAPISI -2
EVRENİN FRAKTAL YAPISI -2
| |
Doç.Dr. Haluk BERKMEN
| |
Doğal görüntüler Şimdiye kadar gördüğümüz örnekler geometrik şekilleri içerdiklerinden doğal oluşumlara olan benzerlikleri oldukça azdı. Bilgisayar teknolojisinin gelişimi sayesinde doğal oluşumlara çok daha fazla benzeyen matematik fraktallar oluşturulmuştur. Şekil - 4’de fraktal bir çam dalını ve Şekil -5’de fraktal bir dağ ile göl manzarasını farklı açılardan görmekteyiz.
Lorenz fraktalı
Fraktal matematiği sayesinde sadece doğadaki statik görüntüleri değil, dinamik ve karmaşık olayları da kurgulamak mümkündür. Bir iklim bilimci (meterolog) olan Edward Lorenz (1917-2008) atmosferde oluşan rüzgâr, fırtına, tayfun gibi dinamik hava akımlarını kurgulayan bir model geliştirmişti. Bu modeli bilgisayarda çalıştırınca mevsimler boyunca oluşan farklı atmosferik olaylar yazıcıya sayısal olarak aktarılmakta idi. Günün birinde Lorenz başlangıç zamanları sadece birkaç dakika farklı olan iki çıktıyı karşılaştırmayı düşündü. Bu iki çıktının uzun süreli sonuçlarında pek az fark bulunacağını tahmin ediyordu. Oysa ki, sonuçlarda büyük farklar ortaya çıktığını hayretle gördü. Aynı durum birbirlerine yakın seçilen herhangi iki başlangıç zamanında tekrarlanıyordu. Başlangıç zamanlarındaki küçük farklar süre uzadıkça artıyor ve tümüyle önceden belirlenmesi olanaksız hale dönüşüyordu.
Lorenz’in denklemleri kendi üzerlerine dönerek oluştuklarından süreksiz adımlar içeriyorlar. Ortaya çıkan sonuçlar sürekli bir fonksiyon olarak çizildiğinde bir kelebeğin kanatlarına benzeyen Şekil -6’daki görüntü ortaya çıkar. Bu şekil“Lorenz fraktalı” veya “Lorenz tuhaf çekicisi” olarak meşhur oldu ve karmaşa kuramının başlangıcını oluşturdu. Kayalardan akan suyun türbülansı, yükselen sigara dumanının hareketi, fırtınalı rüzgârlar, tayfunlar, borsa hareketleri, zarların yuvarlanışı, kalbin fibrilasyona girmesi gibi çok farklı olaylar karmaşa kuramı ile açıklanabiliyor. Bir ağacın yeni bir budak vererek dal oluşturması, hatta kan damarlarının oluşumu dahi Lorenz Fraktalindeki parametrenin belirli birtakım değerler arasında kaldığı durumlarda gerçekleşebiliyor. Bir coğrafi bölgede bazı tür hava akımlarının oluşumu (hortum, tayfun, muson rüzgarları gibi) belirgin bir sıcaklık aralığına bağlı olduğunu ve aynı olayın farklı sıcaklık aralıklarında neden oluşmadığını Lorenz fraktali sayesinde daha iyi anlıyoruz.
Tuhaf çekici
Lorenz fraktalına baktığımızda söz konusu dinamik sistemin iki merkez etrafında dolandığını fakat her yörüngenin bir öncekinden farklı olduğunu görüyoruz. Bu tür çekici merkezlere anlam verilemediğinden, bunlara “tuhaf çekici” denmiştir. Olayı anlayabilmek için basit bir denklemden hareket edelim. Denklemimiz bir x sayısı ile bir sabit k parametresi içersin ve kendi üzerine dönüşümlü olsun. Ayrıca denklemimizin bir doğruyu tanımlamaması, yani lineer olmaması gerekiyor. Basit bir örnek:
Xn+1 = k.Xn – k.(Xn)2
Denkleminde n+1 inci adımdaki sayıyı hesaplamak için n’inci adımdaki sayıdan yararlanılır. Bu bakımdan süreksiz iterasyonlar yapmak gerekecektir. Örneğin, Şekil -7’nin sol tarafında görülen grafikte k = 2.6 ve X1 = 0.31 seçildiğinde X = 0.61534 değeri tek bir tuhaf çekiciyi oluşturur. Bu değere ulaşmak için 15 iterasyon yeterlidir. Şeklin ortasındaki grafikte iki adet tuhaf çekici k = 3 ve X1 = 0.32 değerleri ile oluşuyor. Bu iki tuhaf çekicinin değerleri X1 = 0.653 ve X2 = 0.680 değerleri arasında gidip gelir. En sağ grafikte ise k = 3.7 ve X1 = 0.72 değerleri seçildiğinde X değerleri tümüyle karmaşık (kaotik) bir davranış içine girer.
Farklı k değerleri çok farklı sonuçlara yol açmaktadır. k = 2.6 için sistem denge durumuna ulaşırken, k = 3 için sistem sürekli salınım yapıyor ve k = 3.7 değerinde karmaşık bir davranış içine giriyor. Her üç davranış türünü sergileyen birçok sistem bulunmaktadır. Hepimizin bildiği en basit örnek damlayan bir musluktur. Musluktan damlayan iki damla arasında geçen zaman süresi sabit olabileceği gibi değişken de olabilir. Bu değişkenliği oluşturan çok küçük dış etkilerdir. Örneğin, su borusundaki bir titreyiş veya hafif bir hava akımı karmaşık davranışa neden olabilir. Böyle bir deney yapılmış ve Scientific American dergisinin Aralık 1986 sayısında yayınlanmıştır. Şekil -8in solunda ve ortasında musluktan belli bir düzen içinde damlayan damlalar görülüyor. Bu damlaları bir mikrofon üzerine düşürterek çıkan ses kayıt edilmiştir. Belli bir anda damlalar Şekil - 8’in sağ tarafında görüldüğü gibi iki damlanın arasında geçen süre karmaşık bir düzen oluşturur.
Bu basit örnekten anlıyoruz ki, mikroskopik etkiler makroskopik sonuçlara yol açabilirler. Ancak, aradaki ilişki belirlenebilen türden, doğrusal (lineer) bir sebep-sonuç ilişkisi içinde oluşmaz. Bu bakımdan geleceği kesinlikle tahmin etmek mümkün değildir. Bu ifadede “kesinlikle” sözünün altı özel olarak çizilmiştir. Çünkü karmaşa kuramında beliren makro düzensizliğin kaynağı mikro düzeydeki, tahmini mümkün olmayan minik boyutlu karmaşık düzensizliklerdir.
Kesirli Fraktal Boyut
Kesirli boyutun ne şekilde ortaya çıktığını bu bölümde aktarmak istiyorum. Kesirli boyut sadece fraktal yapılara ait bir özelliktir. Kendine benzeyerek gelişen ve değişen tüm yapılarda bu özellik bulunur. Örnek olarak alttaki Şekil – 9’a bakalım.
Kırmızı düz çizgiyi kendine benzeyen eşit parçalara bölelim. Bu sayı N olsun. Görüldüğü gibi 2ye böldüğümüzde N = 2 ve 3e böldüğümüzde N = 3 oluyor. L ise bir kenarın küçülme oranı olsun. İlk iterasyonda kenar önce ikiye sonra da üçe bölünüyor. Şu halde N = LD veya her iki tarafın logaritmasını alırsak log(N) = D log(L) olur. Yani:
D = log(N) / log(L)
Altta görülen Sierpinski üçgenine (Şekil – 10) bu formülü uygulayalım.
İlk iterasyonda ortadan bir üçgen çıkarılınca geriye 3 tane eşit küçük üçgen ve bir kenar da 2 parçaya bölünmüş oluyor. İlk iterasyon için N = 3 ve L = 2 ve bir sonraki iterasyonda N = 9 ve L = 4 olur. Şu halde,
D = log(3)/ log(2) = 0.47712 / 0.30103 = 1.58496 elde ederiz. Keza.
D = log(9)/ log(4) = 0.95424 / 0.60206 = 1.58496 olur.
Tüm daha yüksek iterasyonlar da aynı değeri verir. Şu halde Sierpinski üçgeni sonuçta (sonsuz sayıda iterasyon yapıldığında) ne bir yüzey ne de bir çizgi olarak tanımlanabilir. Zira boyutu 1 ile 2 arasında bir değere sahiptir. Tüm fraktal yapılar da benzer şekilde kesirli boyut sahibidirler.
| |
www.astroset.com'DAN ALINMIŞTIR.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)